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通往 交易世界的捷径

幸福不是靠改变对方得到的,幸福是靠允许对方不完美、接纳真实的对方、成长自己、学会跟真实的对方相处才获得的。
幸福不在别处,就在自己里边,向内找,才能找到它。
通往幸福的捷径,你get到了吗?
欢迎交流~
我是Elin,期待在通往幸福的道路上遇见更好的自己。

通往整體之路

但是這種古典的仿射刻畫一個很顯然的缺點在於:我們考慮代數曲線的交點時候需要考慮多種情況。比方說在$mathbb R^$裡面最簡單的$y=x^$二次曲線(parabolic curve),任意一條與y軸平行的直線$x=x_$,考慮這樣一個問題:在上述的底空間(ambient space) $mathbb R^$中這兩條曲線相交點的個數有多少個?直觀地我們說只有一個,但是我們不管怎麼觀察,實際上我們觀察的是一個局部的(local)情況。為什麼呢?那麼我來問問你,在無窮遠($infty$)處上述兩條直線可能相交嗎?

想像一下通過球極投影(stereographicnprojection)把整個$mathbb R^$「包起來」成為一個球面——當然你自然會發現其中缺了一個點,不妨就假定是北極點。然後我們再補充一點進去,而這一點恰好是所謂的無窮遠點。補充這一點實際上是挺重要的,因為這就是所謂的「一點緊化」(one-point compactification),有了這「一點」球面就完全不同於平面,換言之球面成為了完備曲面。

而投影空間的構造想法也是類似的,不過這時候我們加進去的就不只是一個點,而是模去所有的線性相關等價向量$x=lambda x$。在復投影空間$mathbb CP(2)$的場合我們可以把它看作是一個球殼。有了投影空間的概念,我們就會發現在這個投影空間中向量的坐標必須比原來的維數(dimension)高一維。這多出來的一維實際上給了我們很大的自由。我們會發現上面那個二次曲線和直線的交點此時在這個投影空間中的確是兩個,無窮遠點和一般的點在投影空間中沒有本質區別。這就是引入投影空間的好處。

因此古典代數幾何中針對仿射代數簇(affine K-variety, $K$ is a field lies in its algebraically closednextension L)提出的許多結果在投射代數簇(projective K-variety)中就顯得更加自然。解釋一下,代數簇實際上並不神秘,就是有限個係數在$K$中的多項式組成的方程組的零點集。然而這個概念本身卻能夠容納好多東西,比方說Brown Chen提到了有理點,也能被納入到這裡來。代數簇的交集就是兩個方程組的公共零點,因此我們上面給的結果就是在說$< y=x^,x=x_>$這個簇的零點個數是2。這在投影空間中更容易被幾何化。

然而仿射空間的好處在於我們可能給予一個完全的實線性結構。在古典的處理中考慮一個拓撲流形,局部地我們都能夠使其同胚(homeomorphic)於$mathbb R^$。也就是說局部地我們可以把拓撲流形當作是我們熟悉的仿射空間來考慮問題,我們通常就是定義一個度量然後計算其中的一些不變數和基本量,這當然是古典的做法,現代的延伸也有很多,比方說Cartan發展出來的一套活動標架法就能夠很好地搞清一個一般的幾何對象,甚至到了今天的幾何分析(geometric analysis)裡面仍然還有Cartan的痕迹,但這些都被極小曲面(minimal surface)的上場所掩蓋了。極小曲面是從局部到整體的一個利器,我們大概沒有辦法說清楚。感興趣的讀者可以參考[6]。但是其中最重要的想法就是代數幾何裡面的Scheme。古典微分幾何中我們通常囿於對極大可微地圖(maximal differential atlas)的求索,而代數幾何則給我們一種整體計算方法。簡單地說,我們現在能夠對整個代數曲線進行直接計算而不必陷於上面我所提到的利用仿射和投射來做一些區別。我們在微分幾何中對流形的處理可以完本地搬到一般的代數簇(而事實上Riemann和Gauss等人使用variety的原本意思就是指「代數流形」)上。我們說一個Scheme就是局部地和local ring同構的代數對象。這就給我們帶來了很大的方便,甚至於我們可以直接計算Scheme之間的同構。換言之,Scheme的引入使得從整體上計算幾何對象變得可能。而在古典微分幾何中這完全是天方夜譚,雖然古典微分幾何中也發展了一套在較大範圍之內處理幾何對象的方法,比如變分法。

Prop 通往 交易世界的捷径 1. [1] $mathbb R^$至少有兩個光滑結構當且僅當n=4(待續)

[1] An Introduction to DifferentiablenManifolds and Riemannian Geometry, William M. Boothby

[閒聊] 通往外側世界

書本裡並沒有提到會長有沒有(資格)到過外世界 但既然會長是50年前眾所皆知的念能力第一高手 卻好像完全和外世界沒有關聯 先排除有比會長更強的人只是大家不知道 接下來的劇情可能會是 上一個到過外世界的人可能已經超過一世紀,並且如何到外世界的方法 被記錄在古蹟中,而這正是金目前在努力的部分 至於339提到的要到外世界所需要的資格到底由誰審核 只能說不是由此世界的人,畢竟第一把交椅的會長似乎都沒有資格 難道除了獵人協會還有更秘密更強大的協會嗎? 有可能 -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 68.181.161.237 ※ 編輯: oolontea 來自: 68.181.161.237 (03/08 08:03)